MATEMATICA PITAGORICA
Manly
P. Hall
Introducción
a la Teoría Pitagórica de los Números
Parte
II
Existen dos órdenes de números:
impares y pares. Debido a que la
unidad, o 1, siempre permanece
indivisible, el número impar no puede ser dividido equitativamente. Por lo tanto, 9 es 4 +
1 + 4; la unidad en el centro es indivisible.
Por otra parte, si cualquier número impar se divide en dos partes, una
parte siempre será impar y la otra será par.
Por lo tanto, 9 puede ser 5 + 4, 3 + 6, 7
+ 2 o 8 + 1.
Los pitagóricos consideraban que el número impar ---cuyo prototipo era la mónada--- era definido y masculino. Sin embargo, no todos estaban de acuerdo en
cuanto a la naturaleza de la unidad, o 1.
Algunos decían que éste era positivo porque si se sumaba a un número par
(negativo), producía un número impar (positivo). Otros demostraban que si la unidad se sumaba
a un número impar, este último se convertía en par, haciendo de esta forma que
el masculino fuese femenino. Por lo
tanto, la unidad, o 1, se consideraba como un número andrógino que formaba
parte de los atributos masculinos y femeninos que, en consecuencia, eran
impares y pares. Por esta razón, los pitagóricos
lo llamaban equitativamente impar. Los pitagóricos tenían la costumbre de
ofrecer sacrificios de un número no equitativo de objetos a los dioses
superiores; mientras que a las diosas y espíritus subterráneos les era ofrecido
un número par.
Cualquier número par
puede ser dividido en dos partes iguales, que siempre son ambas impares o ambas
pares. Por lo tanto, 10, por una división
equitativa, da 5 + 5, ambos números impares.
El mismo principio es cierto si el 10 se divide de una forma no
equitativa. Por ejemplo, en 6 + 4, ambas
partes son pares; en 7 + 3 ambas partes son impares; en 8 + 2, ambas partes
nuevamente son pares; y en 9 + 1, ambas partes nuevamente son impares. Por lo tanto, en el número par, como quiera
que se divida, las partes siempre serán ambas impares o ambas pares. Los pitagóricos consideraban que el número par ---cuyo prototipo era la dúada--- era indefinido y
femenino.
Los números impares se
dividen por medio de un artificio matemático
---llamado “el Tamiz de Eratóstenes”--- en tres clases generales: no compuestos, compuestos y no compuestos-compuestos.
Los números no compuestos son aquellos que no tienen
divisores que no sean ellos mismos y la unidad, tales como 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, y así sucesivamente. Por ejemplo, 7 solo es divisible por 7, que
incide sobre sí una vez, y por la unidad, que incide sobre 7 siete veces.
Los números compuestos son aquellos que son divisibles
no solamente por ellos mismos y por la unidad, sino también por algún otro número
como 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39, 45, 51, 57, y así sucesivamente. Por ejemplo, 21 no solo es divisible por sí
mismo y por la unidad, sino también es divisible por 3 y por 7.
Los números no
compuestos-compuestos son aquellos que no tienen divisor común, aunque cada uno
de ellos tiene la capacidad de ser dividido; estos números son 9 y 25. Por ejemplo, 9 es divisible por 3 y 25 por 5;
pero ninguno es divisible por el divisor del otro; por lo tanto, no tienen
divisor común. Debido a que tienen
divisores individuales, estos son llamados compuestos;
y debido a que no tienen divisores comunes, son llamados no compuestos. De igual
forma, el término no compuesto-compuesto
fue creado para describir sus propiedades.
Los números pares se
dividen en tres clases: equitativamente
pares, equitativamente impares y curiosamente impares.
Los números equitativamente pares tienen una proporción
doble con la unidad; de esta forma: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, y
1,024. La prueba del número perfecto equitativamente par es que puede ser
reducido a la mitad y las mitades pueden ser reducidas nuevamente a su unidad;
de esta forma, ½ de 64 = 32; ½ de 32 = 16; ½ de 16 = 8; ½ de 8 = 4; ½ de 4 = 2;
½ de 2 = 1; es imposible ir mas allá de la unidad.
Los números equitativamente pares poseen algunas propiedades
únicas. La suma de cualquier número de términos
que no sea el último término siempre es igual al último término menos uno. Por ejemplo: la suma del primer y segundo término
(1 + 2) equivale al tercer término (4) menos uno; o la suma del primer,
segundo, tercer y cuarto términos (1 + 2 + 4 + 8) equivale al quinto término
(16) menos uno.
En una serie de números
equitativamente pares, el primero
multiplicado por el último equivale al último; el segundo multiplicado por el penúltimo
equivale al último y así sucesivamente hasta que en una serie de números impares
solo queda un número que, multiplicado por sí mismo equivale al último número
de la serie; o en una serie de números pares quedan dos números que,
multiplicados por cada uno de ellos dan el último número de la serie. Por ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, es una serie
impar. El primer número (1) multiplicado
por el último número (16) equivale al último número (16). El segundo número (2) multiplicado por el penúltimo
número (8) equivale al último número (16).
Siendo una serie de números impares, el 4 se deja en el centro; y este número
multiplicado por si mismo también equivale al último número (16).
Los números equitativamente impares son aquellos
que, cuando se reducen a la mitad, no tienen la capacidad para una división mayor
por medio de la reducción a la mitad.
Estos números se forman al tomar los números impares en orden de secuencia
y multiplicarlos por 2. Por medio de
este proceso, los números impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, producen los números equitativamente
impares 2, 6, 10, 14, 18, 22. Por lo
tanto, cada cuarto número es equitativamente impar. Cada uno de los números equitativamente
impares puede ser dividido una vez, como el 2, que se convierte en dos 1’s y no
puede ser dividido más; o 6, que se convierte en dos 3’s y no puede ser
dividido más.
Otra peculiaridad de
los números equitativamente impares es que si el divisor es impar, el cociente
siempre es par; y si el divisor el par, el cociente siempre es impar. Por ejemplo: si 18 se divide por 2 (un
divisor par) el cociente es 9 (un número impar); si 18 se divide por 3 (un
divisor impar) el cociente es 6 (un número par).
Los números equitativamente
impares también son notables por el hecho de que cada término es una mitad de
la suma de los términos a cada lado de ésta.
Por ejemplo: 10 es una mitad de la suma de 6 y 14; 18 es una mitad de la
suma de 14 y 22; y 6 es una mitad de la suma de 2 y 10.
Los números curiosamente
impares o no equitativamente pares son un arreglo entre los números equitativamente
pares y los números equitativamente impares.
A diferencia de los números equitativamente pares, estos no pueden ser
reducidos a la mitad hasta su unidad; y a diferencia de los números equitativamente
impares, son capaces de hacer más de una división al reducirse a la mitad. Los números curiosamente impares se forman al
multiplicar los números equitativamente pares sobre 2 por los números impares
sobre uno. Los números impares
sobre uno son 3, 5, 7, 9, 11, y así
sucesivamente. Los números equitativamente
pares sobre 2 son 4, 8, 16, 32, 64, y así sucesivamente. El primer número impar de la serie (3)
multiplicado por 4 (el primer número equitativamente par de la serie) da 12, el
primer número curiosamente impar. Al
multiplicar 5, 7, 9, 11, y así sucesivamente, por 4, encontramos números curiosamente
impares. Los otros números curiosamente
impares se producen al multiplicar 3, 5, 7, 9, 11, y así sucesivamente, en
cambio, por los otros números equitativamente pares (8, 16, 32, 64, y así sucesivamente). Un ejemplo de la reducción a la mitad de los números
curiosamente impares es el siguiente: ½ de 12 = 6; ½ de 6 = 3, que no puede ser
reducido más a la mitad debido a que los pitagóricos no dividieron la unidad.
Continúa…
Traducción del original en
inglés An Introduction to the Pythagorean
Theory of Numbers del capítulo Pythagorean
Mathematics del libro The Secret Teachings of All Ages de
Manly P. Hall. ®Sánchez &
Rivera, Traductoras. 2014, Puerto
Rico. madias85@yahoo.com
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